高三数学公开课教案

时间:2020-11-19 17:32:31

本节课的研究是对初中不等式摩鑫学习的延续和拓展,也是实数理论的进一步发展.在本节课的摩鑫学习过程中,将让学生回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.一起看看高三数学公开课教案!欢迎查阅!

#高三数学公开课教案1#

整体设计

教学分析

本节课的研究是对初中不等式摩鑫学习的延续和拓展,也是实数理论的进一步发展.在本节课的摩鑫学习过程中,将让学生回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.

通过本节课的摩鑫学习,让学生从一系列的具体问题情境中,感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材,用数学观点进行观察、归纳、抽象,完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.

在本节课的摩鑫学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题,其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用,同时也能激发学生的摩鑫学习兴趣,并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容,应用再现、回忆得出实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.

在本节教学中,教师可让学生阅读书中实例,充分利用数轴这一简单的数形结合工具,直接用实数与数轴上点的一一对应关系,从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.

三维目标

1.在学生了解不等式产生的实际背景下,利用数轴回忆实数的基本理论,理解实数的大小关系,理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.

2.会用作差法判断实数与代数式的大小,会用配方法判断二次式的大小和范围.

3.通过温故知新,提高学生对不等式的认识,激发学生的摩鑫学习兴趣,体会数学的奥秘与数学的结构美.

重点难点

教学重点:比较实数与代数式的大小关系,判断二次式的大小和范围.

教学难点:准确比较两个代数式的大小.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面,它将学生带入“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的,由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望,自然地引入新课.

思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例,描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想,教师组织不等关系的相关素材,让学生用数学的观点进行观察、归纳,使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样,在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望,从而进入进一步的探究摩鑫学习,由此引入新课.

推进新课

新知探究

提出问题

?1?回忆初中学过的不等式,让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?

?2?在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?

?3?数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?

?4?任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?

活动:教师引导学生回忆初中学过的不等式概念,使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系,可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用“a>b”“a

教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子,可让学生充分合作讨论,使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下,进一步摩鑫学习不等式的有关内容.

实例1:某天的天气预报报道,气温32℃,最低气温26℃.

实例2:对于数轴上任意不同的两点A、B,若点A在点B的左边,则xA

实例3:若一个数是非负数,则这个数大于或等于零.

实例4:两点之间线段最短.

实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

实例6:限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h.

实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.

教师进一步点拨:能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科,但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象,完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到,用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5,3+4>1+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.

教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1,若用t表示某天的气温,则26℃≤t≤32℃.实例3,若用x表示一个非负数,则x≥0.实例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下图.

|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.

实例6,若用v表示速度,则v≤40km/h.实例7,f≥2.5%,p≥2.3%.对于实例7,教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足,避免写成f≥2.5%或p≥2.3%,这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.

对以上问题,教师让学生轮流回答,再用投影仪给出课本上的两个结论.

讨论结果:

(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应的实数大.

(4)对于任意两个实数a和b,在a=b,a>b,a0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a

应用示例

例1(教材本节例1和例2)

活动:通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法:作差,配方法.

点评:本节两例的求解,是借助因式分解和应用配方法完成的,这两种方法是代数式变形时经常使用的方法,应让学生熟练掌握.

变式训练

1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是()

A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)

C.f(x)

答案:A

解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).

2.已知x≠0,比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.

解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

∵x≠0,得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.

例2比较下列各组数的大小(a≠b).

(1)a+b2与21a+1b(a>0,b>0);

(2)a4-b4与4a3(a-b).

活动:比较两个实数的大小,常根据实数的运算性质与大小顺序的关系,归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成,但要点拨学生在最后的符号判断说理中,要理由充分,不可忽略这点.

解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=?a+b?2-4ab2?a+b?=?a-b?22?a+b?.

∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴?a-b?22?a+b?>0,即a+b2>21a+1b.

(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号),

又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.

∴a4-b4<4a3(a-b).

点评:比较大小常用作差法,一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方,前者将“差”变为“积”,后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”,也可两者并用.

变式训练

已知x>y,且y≠0,比较xy与1的大小.

活动:要比较任意两个数或式的大小关系,只需确定它们的差与0的大小关系.

解:xy-1=x-yy.

∵x>y,∴x-y>0.

当y<0时,x-yy<0,即xy-1<0.∴xy<1;

当y>0时,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.

点评:当字母y取不同范围的值时,差xy-1的正负情况不同,所以需对y分类讨论.

例3建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.

活动:解题关键首先是把文字语言转换成数学语言,然后比较前后比值的大小,采用作差法.

解:设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b,同时增加的面积为m,根据问题的要求a

由于a+mb+m-ab=m?b-a?b?b+m?>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,

因此a+mb+m>ab≥10%.

所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光条件变好了.

点评:一般地,设a、b为正实数,且a0,则a+mb+m>ab.

变式训练

已知a1,a2,…为各项都大于零的等比数列,公比q≠1,则()

A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8

C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定

答案:A

解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

∵{an}各项都大于零,∴q>0,即1+q>0.

又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.

知能训练

1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()

A.3B.2C.1D.0

2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.

答案:

1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,

③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

∴只有①恒成立.

2.解:因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,

所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

课堂小结

1.教师与学生共同完成本节课的小结,从实数的基本性质的回顾,到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评,到紧跟着的变式训练,让学生去繁就简,联系旧知,将本节课所学纳入已有的知识体系中.

2.教师画龙点睛,点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.

作业

#高三数学公开课教案2#

教学准备

教学目标

掌握等差数列与等比数列的概念,通项公式与前n项和公式,等差中项与等比中项的概念,并能运用这些知识解决一些基本问题.

教学重难点

掌握等差数列与等比数列的概念,通项公式与前n项和公式,等差中项与等比中项的概念,并能运用这些知识解决一些基本问题.

教学过程

等比数列性质请同学们类比得出.

【方法规律】

1、通项公式与前n项和公式联系着五个基本量,“知三求二”是一类最基本的运算题.方程观点是解决这类问题的基本数学思想和方法.

2、判断一个数列是等差数列或等比数列,常用的方法使用定义.特别地,在判断三个实数

a,b,c成等差(比)数列时,常用(注:若为等比数列,则a,b,c均不为0)

3、在求等差数列前n项和的(小)值时,常用函数的思想和方法加以解决.

【示范举例】

例1:(1)设等差数列的前n项和为30,前2n项和为100,则前3n项和为.

(2)一个等比数列的前三项之和为26,前六项之和为728,则a1=,q=.

例2:四数中前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项之和为21,中间两项之和为18,求此四个数.

例3:项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求该数列的中间项.

#高三数学公开课教案3#

教学目标

知识目标等差数列定义等差数列通项公式

能力目标掌握等差数列定义等差数列通项公式

情感目标培养学生的观察、推理、归纳能力

教学重难点

教学重点等差数列的概念的理解与掌握

等差数列通项公式推导及应用教学难点等差数列“等差”的理解、把握和应用

教学过程

由__《红高粱》主题曲“酒神曲”引入等差数列定义

问题:多媒体演示,观察----发现?

一、等差数列定义:

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。

例1:观察下面数列是否是等差数列:….

二、等差数列通项公式:

已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d。

则由定义可得:

a2-a1=d

a3-a2=d

a4-a3=d

……

an-an-1=d

即可得:

an=a1+(n-1)d

例2已知等差数列的首项a1是3,公差d是2,求它的通项公式。

分析:知道a1,d,求an。代入通项公式

解:∵a1=3,d=2

∴an=a1+(n-1)d

=3+(n-1)×2

=2n+1

例3求等差数列10,8,6,4…的第20项。

分析:根据a1=10,d=-2,先求出通项公式an,再求出a20

解:∵a1=10,d=8-10=-2,n=20

由an=a1+(n-1)d得

∴a20=a1+(n-1)d

=10+(20-1)×(-2)

=-28

例4:在等差数列{an}中,已知a6=12,a18=36,求通项an。

分析:此题已知a6=12,n=6;a18=36,n=18分别代入通项公式an=a1+(n-1)d中,可得两个方程,都含a1与d两个未知数组成方程组,可解出a1与d。

解:由题意可得

a1+5d=12

a1+17d=36

∴d=2a1=2

∴an=2+(n-1)×2=2n

练习

1.判断下列数列是否为等差数列:

①23,25,26,27,28,29,30;

②0,0,0,0,0,0,…

③52,50,48,46,44,42,40,35;

④-1,-8,-15,-22,-29;

答案:①不是②是①不是②是

等差数列{an}的前三项依次为a-6,-3a-5,-10a-1,则a等于()

A.1B.-1C.-1/3D.5/11

提示:(-3a-5)-(a-6)=(-10a-1)-(-3a-5)

3.在数列{an}中a1=1,an=an+1+4,则a10=.

提示:d=an+1-an=-4

教师继续提出问题

已知数列{an}前n项和为……

作业

P116习题3.21,2


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